解题思路：（1）f（x）=x3-2ax2+3x在x∈[1，+∞）上是增函数，即f'（x）=3x2-4ax+3≥0在[1，+∞）恒成立，由此构造不等式，结合基本不等式可得实数a的取值范围；
（2）若x=a是f（x）的极值点，则f'（a）=0，求出a值，分类讨论f（x）在[-2，a]上的最小值和最大值可得答案．
（1）∵f（x）=x3-2ax2+3x在x∈[1，+∞）上是增函数
∴f'（x）=3x2-4ax+3≥0
∴a≤
3
4(x+
1
x)在[1，+∞）恒成立
∴a≤[
3
4(x+
1
x)]min
∵[3/4(x+
1
x)≥
3
2]，当x=1时等号成立
∴a≤
3
2…．（6分）
（2）由题可知f′（a）=3a2-4a2+3=0
∴a＝±
3
当a＝
3时，x∈[−2，
3]
f′(x)＝3x2−4
3x+3＝3(x−
3)(x−
3
3)
此时 由f'（x）＞0可得−2≤x＜
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，基本不等式，熟练掌握导函数符号与原函数单调性之间的关系，是解答的关键．