Question

设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n=1，2，…）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）设等比数列通式a_n=a₁q^（n-1），根据S₁＞0可知a₁大于零，当q不等于1时，根据s_n=

a

1

(1−

q

n−1

)

1−q

＞0，进而可推知1-qⁿ＞0且1-q＞0，或1-qⁿ＜0且1-q＜0，进而求得q的范围，当q=1时仍满足条件，进而得到答案．

（Ⅱ）把a_n的通项公式代入，可得a_n和b_n的关系，进而可知T_n和S_n的关系，再根据（1）中q的范围来判断S_n与T_n的大小．

（Ⅰ）设等比数列通式a_n=a₁q^（n-1）

根据S_n＞0，显然a₁＞0，

当q不等于1时，前n项和s_n=

a1(1−qn)

1−q

所以

(1−qn)

1−q＞0 所以-1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1

当q=1时 仍满足条件

综上q＞0或-1＜q＜0

（Ⅱ）∵bn＝an+2−

3

2an+1

∴b_n=an+2−

3

2an+1

=a_nq²-[3/2]a_nq

=[1/2]a_n（2q²-3q）

∴T_n=[1/2]（2q²-3q）S_n
∴T_n-S_n=[1/2]S_n（2q²-3q-2）=[1/2]S_n（q-2）（2q+1）

又因为S_n＞0，且-1＜q＜0或q＞0，

所以，当-1＜q＜-[1/2]或q＞2时，T_n-S_n＞0，即T_n＞S_n；

当-[1/2]＜q＜2且q≠0时，T_n-S_n＜0，即T_n＜S_n；

当q=-[1/2]，或q=2时，T_n-S_n=0，即T_n=S_n．

点评：

本题考点： 等比数列的性质；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了等比数列的性质．在解决数列比较大小的问题上，常利用到不等式的性质来解决．