Question

设正数数列{an}的前n项为Sn,取Sn=0.5*（an+1/an）,猜测通向an并用数学归纳法证明

Answer 1

由：Sn=0.5*（an+1/an）整理得2an*Sn=an^2+1

因为 an=Sn-S(n-1)

所以 2[sn-s(n-1)]*Sn=[sn-s(n-1)]^2+1

故 Sn^2-S(n-1)^2=1,所以Sn成等差数列

S(n-1)^2-S(n-2)^2=1

.

S3^2-S2^2=1

S2^2-S1^2=1

连加:Sn^2-S1^2=n-1

又 S1=a1,2an*Sn=an^2+1,S1>0

故 S1=1

所以Sn^2=n,Sn=√n,(1)

S(n-1)=√(n-1),(2)

(1)-(2),得:an=√n-√(n-1) (√为根号)