解题思路：（1）由分母不能为零得2x-1≠0求解即可．要注意定义域要写成集合或区间的形式．
（2）在（1）的基础上，只要再判断f（x）与f（-x）的关系即可，但要注意作适当的变形．
（3）在（2）的基础上要证明对称区间上成立可即可．不妨证明：当x＞0时，则有2x＞1进而有2x-1＞0，
1
2
x
−1
＞0
然后得到
(
1
2
x
−1
+
1
2
)•x
＞0．再由奇偶性得到对称区间上的结论．
（1）由2x-1≠0得x≠0，∴函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵f（x）=(
1
2x−1+
1
2)•x=
2x+1
2(2x−1)•x
∴f（-x）=
2−x+1
2(2−x−1)•(−x)＝−x•
1
2x+1
2(
1
2x−1)=−x•
1+2x
2(1−2x)＝
2x+1
2(2x−1)•x＝f(x)
∴函数f（x）为定义域上的偶函数．
（3）证明：当x＞0时，2x＞1
∴2x-1＞0，
∴
1
2x−1＞0，
∴(
1
2x−1+
1
2)•x＞0
∵f（x）为定义域上的偶函数
∴当x＜0时，f（x）＞0
∴f（x）＞0成立
点评：
本题考点： 函数的定义域及其求法；函数的值域；函数奇偶性的判断．
考点点评： 本题主要考查函数的定义域，奇偶性和函数的值域，特别是在判断奇偶性时，可作适当变形，但要做到等价变形．