已知函数f(x)=(12x−1+12)•x.

1个回答

  • 解题思路:(1)由分母不能为零得2x-1≠0求解即可.要注意定义域要写成集合或区间的形式.

    (2)在(1)的基础上,只要再判断f(x)与f(-x)的关系即可,但要注意作适当的变形.

    (3)在(2)的基础上要证明对称区间上成立可即可.不妨证明:当x>0时,则有2x>1进而有2x-1>0,

    1

    2

    x

    −1

    >0

    然后得到

    (

    1

    2

    x

    −1

    +

    1

    2

    )•x

    >0.再由奇偶性得到对称区间上的结论.

    (1)由2x-1≠0得x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)

    (2)∵f(x)=(

    1

    2x−1+

    1

    2)•x=

    2x+1

    2(2x−1)•x

    ∴f(-x)=

    2−x+1

    2(2−x−1)•(−x)=−x•

    1

    2x+1

    2(

    1

    2x−1)=−x•

    1+2x

    2(1−2x)=

    2x+1

    2(2x−1)•x=f(x)

    ∴函数f(x)为定义域上的偶函数.

    (3)证明:当x>0时,2x>1

    ∴2x-1>0,

    1

    2x−1>0,

    ∴(

    1

    2x−1+

    1

    2)•x>0

    ∵f(x)为定义域上的偶函数

    ∴当x<0时,f(x)>0

    ∴f(x)>0成立

    点评:

    本题考点: 函数的定义域及其求法;函数的值域;函数奇偶性的判断.

    考点点评: 本题主要考查函数的定义域,奇偶性和函数的值域,特别是在判断奇偶性时,可作适当变形,但要做到等价变形.