解题思路:(1)由分母不能为零得2x-1≠0求解即可.要注意定义域要写成集合或区间的形式.
(2)在(1)的基础上,只要再判断f(x)与f(-x)的关系即可,但要注意作适当的变形.
(3)在(2)的基础上要证明对称区间上成立可即可.不妨证明:当x>0时,则有2x>1进而有2x-1>0,
1
2
x
−1
>0
然后得到
(
1
2
x
−1
+
1
2
)•x
>0.再由奇偶性得到对称区间上的结论.
(1)由2x-1≠0得x≠0,∴函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
(2)∵f(x)=(
1
2x−1+
1
2)•x=
2x+1
2(2x−1)•x
∴f(-x)=
2−x+1
2(2−x−1)•(−x)=−x•
1
2x+1
2(
1
2x−1)=−x•
1+2x
2(1−2x)=
2x+1
2(2x−1)•x=f(x)
∴函数f(x)为定义域上的偶函数.
(3)证明:当x>0时,2x>1
∴2x-1>0,
∴
1
2x−1>0,
∴(
1
2x−1+
1
2)•x>0
∵f(x)为定义域上的偶函数
∴当x<0时,f(x)>0
∴f(x)>0成立
点评:
本题考点: 函数的定义域及其求法;函数的值域;函数奇偶性的判断.
考点点评: 本题主要考查函数的定义域,奇偶性和函数的值域,特别是在判断奇偶性时,可作适当变形,但要做到等价变形.