解题思路:(1)求出导数,由题意得,f′(1)=0,求出a,并检验;
(2)写出g(x)的表达式,求出导数,由于函数g(x)=f(x)+[2/x]在[1,4]上是减函数,则g′(x)≤0在[1,4]上恒成立,分离参数得,-a≥2x2-[2/x],构造h(x)=2x2-[2/x],求出最大值即可.
(1)f′(x)=2x+[a/x](x>0),
∵f(x)在x=1处取得极值,
∴f′(1)=0,即2+a=0,a=-2,
检验x=1处d导数左负右正,故为极值,
∴a=-2;
(2)g(x)=f(x)+[2/x]=x2+alnx+[2/x](x>0)
∴g′(x)=2x+
a
x-[2
x2,
由于函数g(x)=f(x)+
2/x]在[1,4]上是减函数,
则g′(x)≤0在[1,4]上恒成立,
即有2x3+ax-2≤0,
-a≥2x2-[2/x],令h(x)=2x2-[2/x],h′(x)=4x+
2
x2>0在[1,4]上成立,
即h(x)在[1,4]上递增,h(4)最大,且为[63/2].
∴-a≥[63/2],即a≤-[63/2].
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查导数的综合运用:求极值、求单调区间和最值,考查参数分离,构造函数,运用导数,求最值,属于中档题.