不知你的学力,证明过程需要用到拉格朗日中值定理,
如果学了导数的话可以这样证明:
不妨设x1x2只需将下面的所有x1换成x2,x2换成x1证明即可.
f(x)=e^x,
则
f[(x1+x2)/2]-f[x1].①
=f'[ξ1]((x1+x2)/2-x1)
=f'[ξ1]((x2-x1)/2),
其中ξ1是设出来的一个量,x1≤ξ1≤(x1+x2)/2
f'(x)=e^x,显然它在整个定义域内是增函数,于是
x10,
又考虑到x2>x1,所以(x2-x1)/2>0,
所以等式右边大于0,
于是等式左边也大于0.
即(f[x2]+f[x1])-2×f[(x1+x2)/2]>0
于是(f[x2]+f[x1])>2×f[(x1+x2)/2]
(f[x2]+f[x1])/2>f[(x1+x2)/2].
完毕.
f(x)=lnx,
则
f[(x1+x2)/2]-f[x1].①
=f'[ξ1]((x1+x2)/2-x1)
=f'[ξ1]((x2-x1)/2),
其中ξ1是设出来的一个量,x1≤ξ1≤(x1+x2)/2
f'(x)=1/x,显然它在整个定义域x∈(0,+∞)内是减函数,于是
x10,
所以等式右边小于0,
于是等式左边也小于0.
即(f[x2]+f[x1])-2×f[(x1+x2)/2]