设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13,求{an}

1个回答

  • (1)

    因为a3+b5=21,a5+b3=13,{an}是等差数列,{bn}是等比数列

    所以a1+2d+b1*q^4=21,a1+4d+b1*q^2=13

    因为a1=b1=1

    所以2d+q^4=20,4d+q^2=12

    2d+q^4=20方程乘以2得4d+2*q^4=40

    用4d+2*q^4=40减去4d+q^2=12得2*q^4-q^2-28=0即(2*q^2+7)*(q^2-4)=0

    所以2*q^2=-7或q^2=4

    当2*q^2=-7时q^2=-3.5(不符合,舍去)

    当q^2=4时q=2或-2

    因为bn}是各项都为正数的等比数列

    所以q=2

    综上所述得q=2

    带入4d+q^2得d=2

    所以 an=2n-1

    bn=2^(n-1)

    (2) B.充分不必要条件

    ∵点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上

    ∴an=2n+1,

    ∴“{an}为等差数列,

    若“{an}为等差数列,可设an=2n+2,则点Pn(n,an)都不在直线y=2x+1上,

    ∴对任意的n∈N*,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上”是“{an}为等差数列”的充分而不必要条件,

    故选B.

    (3) a1=9d

    ak=a1+(k-1)d=(k+8)d

    a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d

    ak是a1与a2k的等比中项,

    ak^2=a1*a2k

    (k+8)^2d^2=9d*(2k+8)d d不为0

    k^2+16k+64=18k+72

    k^2-2k-8=0 k=4或k=-2 k为正整数

    k=4