Question

如图,在△ABC中,∠A=∠ABC,直线EF分别交△ABC的边AB,AC,和CB的延长线于点D,E,F. 为什么∠FEC

Answer 1

证明一：延长BC到点G根据三角形外角定理有：

∠F+∠FEC=∠ACG∠A+∠ABC=∠ACG所以：∠F+∠FEC=∠A+∠ABC因为：∠A=∠ABC所以：∠F+∠FEC=2∠A

证明二：因为：三角形内角和为180°所以：∠F+∠FDB+∠FBD=∠A+∠EDA+∠AED因为：∠FDB=∠EDA（对顶角相等）因为：∠AED=180°-∠FEC,∠FBD=180°-∠ABC所以：∠F+∠FDB+180°-∠ABC=∠A+∠FDB+180°-∠FEC所以：∠F-∠ABC=∠A-∠FEC因为：∠A=∠ABC所以：∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A所以：∠F+∠FEC=2∠A

证明三：∠F+∠FEC+∠ACB=180°∠A+∠ABC+∠ACB=180°两式相减得：∠F+∠FEC-(∠A+∠ABC)=0所以：∠F+∠FEC=∠A+∠ABC因为：∠A=∠ABC所以：∠F+∠FEC=2∠A