解题思路:(1)要证线与面垂直,只要证明线与面上的两条相交线垂直,找面上的两条线,根据四边形是一个菱形,从菱形出发找到一条,再从PA⊥平面ABCD,得到结论.
(2)对于这种是否存在的问题,首先要观察出结论,再进行证明,根据线面平行的判定定理,利用中位线确定线与线平行,得到结论.
(3)过A作AE垂直PD于E,作CF垂直PD于F,则二面角A-PD-C的夹角即为AE,CF的夹角,代入异面直线上两点之间的距离公式,构造关于θ的三角方程,即可求出二面角A-PD-C的正切值.
证明:(1)∵ABCD为菱形,
∴AB=BC
又∠ABC=60°,
∴AB=BC=AC,
又M为BC中点,∴BC⊥AM
而PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC
又PA∩AM=A,∴BC⊥平面AMN
(2)存在点E,使得MN∥面ACE,理由如下:
取PD中点E,连接NE,EC,AE,
∵N,E分别为PA,PD中点,
∴NE
∥
.
.
1
2AD
又在菱形ABCD中,CM
∥
.
.
1
2AD
∴NE
∥
.
.MC,即MCEN是平行四边形
∴NM∥EC,
又EC⊂平面ACE,NM⊄平面ACE
∴MN∥平面ACE,
即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE,
此时 PE=
1
2PD=
2.
(3)过A作AE垂直PD于E,作CF垂直PD于F,
则AE=
2,CF=
14
2,EF=
2
2,AC=2
设二面角A-PD-C的平面角为θ
则AC=
AE2+CF2+EF2−2•AE•CF•cosθ
点评:
本题考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
考点点评: 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,空间中直线与平面之间的位置关系,是一个非常适合作为高考题目出现的问题,题目包含的知识点比较全面,重点突出,是一个好题.