如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA⊥面ABCD,点M、N分别为BC、PA的中点,且

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  • 解题思路:(1)要证线与面垂直,只要证明线与面上的两条相交线垂直,找面上的两条线,根据四边形是一个菱形,从菱形出发找到一条,再从PA⊥平面ABCD,得到结论.

    (2)对于这种是否存在的问题,首先要观察出结论,再进行证明,根据线面平行的判定定理,利用中位线确定线与线平行,得到结论.

    (3)过A作AE垂直PD于E,作CF垂直PD于F,则二面角A-PD-C的夹角即为AE,CF的夹角,代入异面直线上两点之间的距离公式,构造关于θ的三角方程,即可求出二面角A-PD-C的正切值.

    证明:(1)∵ABCD为菱形,

    ∴AB=BC

    又∠ABC=60°,

    ∴AB=BC=AC,

    又M为BC中点,∴BC⊥AM

    而PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PA⊥BC

    又PA∩AM=A,∴BC⊥平面AMN

    (2)存在点E,使得MN∥面ACE,理由如下:

    取PD中点E,连接NE,EC,AE,

    ∵N,E分别为PA,PD中点,

    ∴NE

    .

    .

    1

    2AD

    又在菱形ABCD中,CM

    .

    .

    1

    2AD

    ∴NE

    .

    .MC,即MCEN是平行四边形

    ∴NM∥EC,

    又EC⊂平面ACE,NM⊄平面ACE

    ∴MN∥平面ACE,

    即在PD上存在一点E,使得NM∥平面ACE,

    此时 PE=

    1

    2PD=

    2.

    (3)过A作AE垂直PD于E,作CF垂直PD于F,

    则AE=

    2,CF=

    14

    2,EF=

    2

    2,AC=2

    设二面角A-PD-C的平面角为θ

    则AC=

    AE2+CF2+EF2−2•AE•CF•cosθ

    点评:

    本题考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,空间中直线与平面之间的位置关系,是一个非常适合作为高考题目出现的问题,题目包含的知识点比较全面,重点突出,是一个好题.