Question

如何求证双曲线中的比例中项问题设双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 的右顶点为A,P为双曲线上的一个动点(不是顶点

Answer 1

双曲线的两条渐近线的斜率为b/a或-b/a

过A(a,o)的直线的斜率为b/a或-b/a

直线方程为：y=(b/a)(x-a) 或 y=(-b/a)(x-a)

即：y=(b/a)x-b 或 y=(-b/a)x+b

设点P坐标为(m,n)

OP^2=m^2+n^2

直线OP为：y=(n/m)x

联立{y=(n/m)x 与 y=(b/a)x-b

解得：x=-abm/(an-bm) y=-abn/(an-bm)

联立{y=(n/m)x 与 y=(-b/a)x+b

解得：x=abm/(an+bm) y=abn/(an+bm)

则Q,R坐标分别为：

（-abm/(an-bm),-abn/(an-bm)）与：（abm/(an+bm),abn/(an+bm)）

OQ=√{[-abm/(an-bm)]^2+[-abn/(an-bm)]^2}

=|ab/(an-bm)|√(m^2+n^2)

OR=√{[abm/(an+bm)]^2+[abn/(an+bm)]^2}

=|ab/(an+bm)|√(m^2+n^2)

OQ·OR=[a^2b^2/|(a^2n^2-b^2m^2)|](m^2+n^2)

∵点P在双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上

∴m^2/a^2-n^2/b^2=1

b^2m^2-a^2n^2=a^2b^2

则a^2b^2/|(a^2n^2-b^2m^2)|=a^2b^2/|a^2b^2|=1

∴OQ·OR=m^2+n^2

∴OP^2=OQ·OR