已知函数f(x)=ax 2 +(b-8)x-a-ab.当x∈(-3,2)时,f(x)>0,当x∈(-∞,-3)∪(2,+

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  • (1)由题意可得 a<0 且-3和2是方程f(x)=ax 2+(b-8)x-a-ab=0 的2个实数根,

    ∴-3+2=

    b-8

    -a ,且-3×2=

    -a-ab

    a ,解得 a=-3,b=5,∴f(x)=-3x 2-3x+18.

    (2)若函数 g(x)=

    a

    3 x 2 +2tanθ•x+b =-x 2+2tanθx+5 的对称轴为 x=tanθ,且在区间[1,+∞)上单调,

    故有 tanθ≤1,∴θ∈(kπ-

    π

    2 ,kπ+

    π

    4 ),k∈z.

    (3)不等式(t-2)f(x)≥t 2+(m-2)t-2m+2对x∈[-1,1]及t∈[-1,1]时恒成立,

    可得 (6-3t)x 2+(6-3t)x+(20-m)t-38+2m≥0 对x∈[-1,1]及t∈[-1,1]时恒成立.

    把x当作自变量,可得此一元二次不等式对应的二次函数的对称轴为x=-

    1

    2 ,

    故函数h(x)=(6-3t)x 2+(6-3t)x+(20-m)t-38+2m 在[-1,1]上的最小值为h(-

    1

    2 )=(

    83

    4 -m)t+2m-

    79

    2 ≥0对t∈[-1,1]恒成立.

    故有 (

    83

    4 -m)×1+2m-

    79

    2 ≥0 且 (

    83

    4 -m)(-1)+2m-

    79

    2 ≥0,求得 m≥

    241

    4 .