已知函数f(x)=13x3−bx2+2x+a,x=2是f(x)的一个极值点.

2个回答

  • 解题思路:(I)先求导函数,然后根据x=2是f(x)的一个极值点建立等式关系,求出b,然后解不等式f′(x)>0即可求出函数的单调增区间;

    (II)先利用导数求出函数f(x)在区间[1,3]上的最小值,若当x∈[1,3]时,要使

    f(x)−

    a

    2

    2

    3

    恒成立,只需

    f(x)

    min

    a

    2

    +

    2

    3

    ,即可求出a的范围.

    (Ⅰ)f′(x)=x2-2bx+2.--------------------------------------------------------------(1分)

    ∵x=2是f(x)的一个极值点,

    ∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根,解得b=

    3

    2.---------------------------(3分)

    令f′(x)>0,则x2-3x+2>0,解得x<1或x>2.---------------------------(5分)

    ∴函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).--------------------------(6分)

    (Ⅱ)∵当x∈(1,2)时f′(x)<0,x∈(2,3)时f′(x)>0,

    ∴f(x)在(1,2)上单调递减,f(x)在(2,3)上单调递增.--------(8分)

    ∴f(2)是f(x)在区间[1,3]上的最小值,且 f(2)=

    2

    3+a.--------------(10分)

    若当x∈[1,3]时,要使f(x)−a2>

    2

    3恒成立,只需f(2)>a2+

    2

    3,----(12分)

    即[2/3+a>a2+

    2

    3],解得 0<a<1.----------------------------------------------------(13分)

    点评:

    本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查了函数的极值,单调性和在闭区间上的最值,同时考查了恒成立问题,属于中档题.