解题思路:(I)先求导函数,然后根据x=2是f(x)的一个极值点建立等式关系,求出b,然后解不等式f′(x)>0即可求出函数的单调增区间;
(II)先利用导数求出函数f(x)在区间[1,3]上的最小值,若当x∈[1,3]时,要使
f(x)−
a
2
>
2
3
恒成立,只需
f(x)
min
>
a
2
+
2
3
,即可求出a的范围.
(Ⅰ)f′(x)=x2-2bx+2.--------------------------------------------------------------(1分)
∵x=2是f(x)的一个极值点,
∴x=2是方程x2-2bx+2=0的一个根,解得b=
3
2.---------------------------(3分)
令f′(x)>0,则x2-3x+2>0,解得x<1或x>2.---------------------------(5分)
∴函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(2,+∞).--------------------------(6分)
(Ⅱ)∵当x∈(1,2)时f′(x)<0,x∈(2,3)时f′(x)>0,
∴f(x)在(1,2)上单调递减,f(x)在(2,3)上单调递增.--------(8分)
∴f(2)是f(x)在区间[1,3]上的最小值,且 f(2)=
2
3+a.--------------(10分)
若当x∈[1,3]时,要使f(x)−a2>
2
3恒成立,只需f(2)>a2+
2
3,----(12分)
即[2/3+a>a2+
2
3],解得 0<a<1.----------------------------------------------------(13分)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查了函数的极值,单调性和在闭区间上的最值,同时考查了恒成立问题,属于中档题.