Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x 2 +bx+c

Answer 1

（1） h(x)=lnx+ x 2 +bx+c(x＞0)， h / (x)=

1

x +2x+b ，

依题， h / (x)=

1

x +2x+b≥0 在（0，+∞）上恒成立，

法1： b≥[-(

1

x +2x) ] max ，又 -(

1

x +2x)≤-2

1

x •2x =-2

2 （当且仅当

1

x =2x ，即 x=

2

2 时取等）

∴ b≥-2

2 ．

法2： h / (x)=

2 x 2 +bx+1

x ，令t（x）=2x ²+bx+1，则t（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

由二次函数t（x）图象得，

1°

-

b

4 ≥0

△≤0 ⇒-2

2 ≤b≤0 ；

2°

-

b

4 ＜0

t(0)=1＞0 ⇒b＞0 ，

综合1°、2°得 b≥-2

2 ．

（2）b=0时，f（x）=lnx，g（x）=x ²+c，

设P（x ₀，y ₀），l ₁，l ₂的倾斜角分别为α，β，

则 tanα=

1

x 0 ，tanβ=2 x 0 ，由于x ₀＞0，则α，β均为锐角，

因为切线l ₁，l ₂与x轴围成一个等腰三角形依题，有以下两种情况：

1°α=2β时， tanα=tan2β=

2tanβ

1- tan 2 β ⇒

1

x 0 =

4 x 0

1-4 x 0 2 ⇒ x 0 2 =

1

8 ⇒ x 0 =

2

4 ，

此时， P(

2

4 ，ln

2

4 )，c=ln

2

4 -

1

8 ；

2°β=2α时， tanβ=tan2α=

2tanα

1- tan 2 α ⇒2 x 0 =

2

x 0

1-

1

x 0 2 =

2 x 0

x 0 2 -1 ⇒ x 0 2 =2⇒ x 0 =

2 ，

此时， P(

2 ，ln

2 )，c=ln

2 -2 ．

（3）b=-2e ²时，

令 ϕ(x)=

f(x)

x -g( x 2 )=

lnx

x - x 4 +2 e 2 x 2 -c(x＞0) ϕ / (x)=

1-lnx

x 2 -4x( x 2 - e 2 ) ，

0＜x＜e时，∅ ^/（x）＞0；x＞e时，∅ ^/（x）＜0

∴∅（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，

∴ ϕ max (x)=ϕ(e)= e 4 +

1

e -c ，

又x→0时，∅（x）→-∞；x→+∞时，∅（x）→-∞

1°∅（e）＞0即 c＜ e 4 +

1

e 时，函数∅（x）有两个零点即方程

f(x)

x =g( x 2 ) 有两个根；

2°∅（e）=0即 c= e 4 +

1

e 时，函数∅（x）有一个零点即方程

f(x)

x =g( x 2 ) 有一个根；

3°∅（e）＜0即 c＞ e 4 +

1

e 时，函数∅（x）没有零点即方程

f(x)

x =g( x 2 ) 没有根．