Question

线性代数题,求非退化线性替换求非退化线性替换把下列二次型化为标准型f( X1,X2,X3 ) = X1X2 + 4X2X

Answer 1

用正交变换法

写出二次型的矩阵A如下

0 1/2 0

1/2 0 2

0 2 0

矩阵xE-A为

x -1/2 0

-1/2 x -2

0 -2 x

特征多项式为xE-A的行列式的值x^3-17/4x

特征多项式为零的解为x1=0,x2=√17/2,x3=-√17/2

x1=0时,齐次线性方程组xE-A=0的基础解系为a1=(-4 0 1)

x2=√17/2时,齐次线性方程组xE-A=0的基础解系为a2=(1/4 √17/4 1)

x3=-√17/2时,齐次线性方程组xE-A=0的基础解系为a3=(1/4 -√17/4 1)

将a1,a2,a3分别标准化,得

b1=1/√17(-4 0 1),b2=1/√34(1 √17 4),b3=1/√34(1 -√17 4)

令Q=(b1' b2' b3'),即

令Q为矩阵

-4/√17 1/√34 1/√34

0 1/√2 -1/√2

1/√17 4/√34 4/√34

令x=Qy,即所求的费退化线性变换为

x1=-4/√17y1+1/√34y2+1/√34y3

x2= 1/√2y2 -1/√2y3

x3= 1/√17y3+4/√34y2+4/√34y3

则f=√17/2y2^2-√17/2y3^2

另外本题也可用配方法解

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