Question

（2014•开封模拟）若椭圆x2a2+y2b2＝1的焦点在x轴上，过点（1，[1/2] ）作圆x2+y2=1的

Answer 1

解题思路：设过点（1，[1/2] ）的圆x²+y²=1的切线为l，根据直线的点斜式，结合讨论可得直线l分别切圆x²+y²=1相切于点A（1，0）和B（0，2）．然后求出直线AB的方程，从而得到直线AB与x轴、y轴交点坐标，得到椭圆的右焦点和上顶点，最后根据椭圆的基本概念即可求出椭圆的方程．

设过点（1，[1/2] ）的圆x²+y²=1的切线为l：y-[1/2]=k（x-1），即kx-y-k+[1/2]=0

①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x²+y²=1相切于点A（1，0）；

②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d=

|−k+

1

2|

k2+1=1，解之得k=-[3/4]，

此时直线l的方程为y=-[3/4]x+[5/4]，l切圆x²+y²=1相切于点B（[3/5]，[4/5]）；

因此，直线AB斜率为k₁=

0−

4

5

1−

3

5=-2，直线AB方程为y=-2（x-1）

∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．

椭圆

x2

a2+

y2

b2＝1的右焦点为（0，1），上顶点为（0，2）

∴c=1，b=2，可得a²=b²+c²=5，椭圆方程为

x2

5+

y2

4＝1

故选C

点评：

本题考点： 椭圆的标准方程．

考点点评： 本题给出过定点直线与单位圆相切于A、B两点，直线AB过椭圆的右焦点和上顶点，求椭圆的方程，着重考查了直线的基本量与基本形式和椭圆的基本概念等知识点，属于基础题．