如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),它的顶点为M,又正比例函

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  • 解题思路:(1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),可求二次函数解析式,并确定顶点坐标;

    (2)把E(2,3)代入y=kx中得正比例函数解析式,联立正比例函数解析式和抛物线解析式,可得D点坐标,根据图象求出符合条件的x的范围;

    (3)求直线与抛物线的交点D,E的坐标,根据中点坐标公式求出P点坐标,利用割补法表示四边形PCMB的面积,然后求最小值.

    (1)由y=ax2+bx+c,则得

    a−b+c=0

    9a+3b+c=0

    c=3,

    解得

    a=−1

    b=2

    c=3,

    故函数解析式是:y=-x2+2x+3.

    由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4知,

    点M(1,4).

    (2)由点E(2,3)在正比例函数y=kx的图象上得,3=2k,得k=[3/2],

    故y=[3/2]x,

    y=

    3

    2x

    y=−x2+2x+3,

    解得D点坐标为(−

    3

    2,−

    9

    4),

    由图象可知,当二次函数的函数值大于正比例函数时,自变量x的取值范围是-[3/2]<x<2.

    (3)

    y=kx

    y=−x2+2x+3,

    解得,点D、E坐标为D(

    2−k−

    k2−4k+16

    2,

    2−k−

    k2−4k+16

    2•k)、

    E(

    2−k+

    k2−4k+16

    2,

    2−k+

    k2−4k+16

    2•k),

    则点P坐标为P([2−k/2,

    2−k

    2•k)由0<k<2,知点P在第一象限.

    由点B(3,0),C(0,3),M(1,4),

    得S四边形COBM=

    1×(3+4)

    2+

    1

    2×2×4=

    15

    2],

    则S四边形PCMB=[15/2−S△OPC−S△OPB=

    15

    2−

    1

    2×3×

    2−k

    2−

    1

    2×3×

    2−k

    2•k,

    整理,配方得S四边形PCMB=

    3

    4(k−

    1

    2)2+

    93

    16].

    故当k=

    1

    2时,四边形PCMB的面积值最小,最小值是[93/16].

    点评:

    本题考点: 二次函数综合题.

    考点点评: 本题考查了二次函数解析式的求法,学会用两个函数交点横坐标表示两个函数值的大小关系,并对二次函数进行运用.