解题思路:(1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过三点A(-1,0),B(3,0),C(0,3),可求二次函数解析式,并确定顶点坐标;
(2)把E(2,3)代入y=kx中得正比例函数解析式,联立正比例函数解析式和抛物线解析式,可得D点坐标,根据图象求出符合条件的x的范围;
(3)求直线与抛物线的交点D,E的坐标,根据中点坐标公式求出P点坐标,利用割补法表示四边形PCMB的面积,然后求最小值.
(1)由y=ax2+bx+c,则得
a−b+c=0
9a+3b+c=0
c=3,
解得
a=−1
b=2
c=3,
故函数解析式是:y=-x2+2x+3.
由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4知,
点M(1,4).
(2)由点E(2,3)在正比例函数y=kx的图象上得,3=2k,得k=[3/2],
故y=[3/2]x,
由
y=
3
2x
y=−x2+2x+3,
解得D点坐标为(−
3
2,−
9
4),
由图象可知,当二次函数的函数值大于正比例函数时,自变量x的取值范围是-[3/2]<x<2.
(3)
y=kx
y=−x2+2x+3,
解得,点D、E坐标为D(
2−k−
k2−4k+16
2,
2−k−
k2−4k+16
2•k)、
E(
2−k+
k2−4k+16
2,
2−k+
k2−4k+16
2•k),
则点P坐标为P([2−k/2,
2−k
2•k)由0<k<2,知点P在第一象限.
由点B(3,0),C(0,3),M(1,4),
得S四边形COBM=
1×(3+4)
2+
1
2×2×4=
15
2],
则S四边形PCMB=[15/2−S△OPC−S△OPB=
15
2−
1
2×3×
2−k
2−
1
2×3×
2−k
2•k,
整理,配方得S四边形PCMB=
3
4(k−
1
2)2+
93
16].
故当k=
1
2时,四边形PCMB的面积值最小,最小值是[93/16].
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题考查了二次函数解析式的求法,学会用两个函数交点横坐标表示两个函数值的大小关系,并对二次函数进行运用.