Question

设Xι＝１,Xn+ι＝２－1/(1＋Xn) (n＝1,2…) 求通项公式.

Answer 1

此通项公式对应的特征方程为x^2-x-1=0,记凉根分别a,b

令a=(1+根号5)/2,b=(1-根号5)/2,并同时满足a^2-a-1=0,b^2-b-1=0也即1-a=-a(2-a),1-b=-b(2-b)

X(n+ι)＝2－1/(1＋Xn)=(2Xn+1)/(1+Xn)

X(n+1)-a=[(2-a)Xn+1-a]/(1+Xn)=[(2-a)Xn-a(2-a)]/(1+Xn)=(2-a)(Xn-a)/(1+Xn)

X(n+1)-b=[(2-b)Xn+1-b]/(1+Xn)=[(2-b)Xn-b(2-b)]/(1+Xn)=(2-b)(Xn-b)(1+Xn)

两式相除得,[X(n+1)-a]/[X(n+1)-b]=[(2-a)/(2-b)][(Xn-a)/(Xn-b)]

所以(Xn-a)/(Xn-b)为等比数列

所以(Xn-a)/(Xn-b)=[(1-a)/(1-b)]*[(2-a)/(2-b)]^(n-1)

所以Xn={a-b*[(1-a)/(1-b)]*[(2-a)/(2-b)]^(n-1)}/{1-[(1-a)/(1-b)]*[(2-a)/(2-b)]^(n-1) )}