解题思路:(1)欲证A1C1⊥AB,可先证A1C1⊥平面ABB1,根据线面垂直的判定定理可知只需证AB1⊥A1C1,A1C1⊥BB1;
(2)由(1)知点B1到平面ABC1的距离是三棱锥B1-ABC1的高,求出
S
△AB
C
1
,再利用换低公式和体积相等求出点B1到平面ABC1的距离.
(1)证明:连接A1B,则A1B⊥AB1.
又∵AB1⊥BC1,
∴AB1⊥平面A1BC1.
∴AB1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥BB1,
∴A1C1⊥平面ABB1.
∴A1C1⊥AB.
(2)由(1)知AB⊥AC,∵AB⊥AC1,
又∵AB=1,BC=2,
∴AC=
3,AC1=2.
∴S△ABC1=1.
设所求距离为d,
∴VB1−ABC1=VC1−ABB1.
∴[1/3]S△ABC1•d=[1/3S△ABB1•A1C1.
∴
1
3]•1•d=[1/3]•[1/2]•
3.
∴d=
3
2.点B1到平面ABC1的距离d=
3
2.
点评:
本题考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定.
考点点评: 本题主要考查了直线与平面垂直的判定,以及点、线、面间的距离计算等有关知识,注意求点到面的距离可用体积相等和换底求解;属于中档题.