Question

已知正整数N>=2,则使得：根号下"(1^2+2^2+3^2.+N^2)/N“为整数的最小正整数N为多少?

Answer 1

1^2+2^2+3^2.+N^2=1/6N(N+1)(2N+1)

根号下(1^2+2^2+3^2.+N^2)/N=根号下1/6(N+1)(2N+1)

(2N+1)是奇数,(N+1）是偶数,N是奇数,设N=6K+1,N=6K+3,N=6K+5进行讨论

因为正整数N>=2,所以K>=1

只有当N=6K+1时,(N+1)(2N+1)=6（3K+1)(4K+1)能被6整除

N=6K+3,N=6K+5代入(N+1)(2N+1)都只能化成6A+C的形式,不能被6整除

所以根号下1/6(N+1)(2N+1)=根号下（3K+1)(4K+1)

根据裴蜀定理得到（3K+1)、(4K+1)互素

所以（3K+1)、(4K+1)均为完全平方数

3k+1=n^2 4k+1=m^2

后面就试数吧,试到n=13得到k=56,N=337

关于3k+1=n^2 4k+1=m^2这步我不太会解