解题思路：（1）函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=2x+1可知，f′（1）=2，f（1）=3，可解a、b的值；
（2）转化成g′（x）=0在（t，3）上有实数根，列出等价条件，求出m的取值范围．
（1）因为函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，
所以f'（1）=2，所以a=-2，则 f（1）=4+b代入切线可得b=-1，
（2）g(x)＝x3+x2(
m
2+4−
2
x)＝x3+(
m
2+4)x2−2x，g'（x）=3x2+（m+8）x-2，
因为任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3+x2[
m
2+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值，
又g'（0）＜0，所以只需
g′(2)＜0
g′(3)＞0，
解得−
49
3＜m＜−13．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查的是导数在求切线，判断函数的单调性极值方面的应用，属于中档题．