解题思路：（1）首先求得反比例函数的解析式，然后求得点B的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）根据△POC与△OBE相似，得到OP=4或8，从而求得点P的坐标即可；
（3）求得点Q、点E、点D的坐标，从而表示出S△AOB=3，S△QOD=
3
2
|t|
，S△BOC=8，得到3＜
3
2
|t|
＜8，从而求得t的取值范围；
（1）点A（1，4）在双曲线y=[k/x]上，得k=4
∵S△BOE=[2/3]S△AOB，
∴|xA|：|xB|=1：2
∴xB=-2，
∵点B在双曲线y=[k/x]上，
∴点B的坐标为（-2，-2）
∵点A，B都在y=ax2+bx（a＞0）上，
∴
a+b＝4
4a−2b＝−2
解得：
a＝1
b＝3
所求的二次函数的解析式为：y=x2+3x；
（2）∵点C坐标为（-4，4），若点P在y轴的正半轴，则∠POC=45°，不符合题意．
所以点P在y轴的负半轴上，则∠POC=45°
此时有∠POC=∠BOE=135°，
所以[OP/OC＝
OE
OB]或[OP/OC＝
OB
OE]时，
△POC与△OBE相似
∴OP=4或8．
所以点P的坐标为（0，-4）或（0，-8）；
（3）设点Q的坐标为（-2，t）
∵直线AB经过点A（1，4），B（-2，-2）
∴直线AB的函数关系式为y=2x+2
∴E（0，2）
由y=x2+3x可知点D（-3，0）．
∵S△AOB=3，S△QOD=[3/2|t|，S△BOC=8
∴3＜
3
2|t|＜8
当t≥0时，2＜t＜
16
3]
当t＜0时，-[16/3]＜t＜-2
综上：2＜t＜[16/3]或-[16/3]＜t＜-2
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题考查了二次函数的综合题目，第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第二问需要我们会根据相似三角形的性质求线段的长，涉及到了分类讨论的数学思想，此类综合题目，难度较大，注意逐步分析．