解题思路：（1）利用导数求函数的单调性，由于参数a的变化对单调性有影响，故要进行分类讨论；（2）利用（1）问的结论，利用叠加的思想可证得；（3）问则在（2）的基础上，进行叠加即可证得．
（1）f/(x)＝
1
1+x−a，
①若a≥1，f′（x）＜0恒成立，故函数在（0，+∞）上递减；
②若0＜a＜1，令f′（x）＞0，则函数在(0，
1−a
a)上递增，在(
1−a
a，+∞ )上递减；
（2）证明：由（1）知，当时，函数f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上递减，即f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x，所以ln（1+[1/n]）＜[1/n]，所以ln(n+1)−lnn＜
1
n，当n=1，2，n时，叠加得：ln(1+n)＜1+
1
2+
1
3+…+
1
n(n∈N+)；
（3）由（2）知ln(1+
1
1×2)＜
1
1×2＝1−
1
2，ln(1+
1
2×3)＜
1
2−
1
3，ln(1+
1
n(n+1))＜
1
n−
1
n+1叠加得ln(1+
1
1×2)+ln(1+
1
n(n+1))+
1
n+1＜1
故由题意|m|≥2，m2-3＞1，
所以ln(1+
1
1×2)+ln(1+
1
2×3)+…+ln[1+
1
n×(n+1)]+
1
n+1＜m2-3．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，解题的关键是利用导数研究出函数的单调性，判断出函数的最值，本题第二小题是一个恒成立的问题，恒成立的问题一般转化最值问题来求解，本题即转化为用单调性求函数在闭区间上的最值的问题，求出最值再判断出参数的取值．本题运算量过大，解题时要认真严谨，避免变形运算失误，导致解题失败．