Question

已知函数f（x）=x 2 +（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．

Answer 1

（Ⅰ）设f（x）=g（x）+h（x）----①，其中g（x）是奇函数，h（x）是偶函数，

则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=-g（x）+h（x），----②

联解①、②，可得g（x）=

1

2 [f（x）-f（-x）]=（a+1）x

h（x）=

1

2 [f（x）+f（-x）]=x ²+lg|a+2|…（4分）

（Ⅱ）∵函数f（x）=（x+

a+1

2 ） ²-

1

4 （a+1） ²+lg|a+2|在区间[（a+1） ²，+∞）上是增函数．

∴（a+1） ²≥-

a+1

2 ，解之得a≥-1或a≤-

3

2 且a≠-2．…（6分）

又∵函数g（x）=（a+1）x是减函数，得a+1＜0，

∴a＜-1且a≠-2．…（8分）

因此，命题P为真的条件是：a≥-1或a≤-

3

2 且a≠-2；命题Q为真的条件是a＜-1且a≠-2．

∴命题P、Q有且仅有一个是真命题时，a＞-

3

2 …（10分）

（Ⅲ）f（1）=1 ²+（a+1）•1+lg|a+2|，即f（1）=（a+2）+lg|a+2|，

∵a＞-

3

2 ，∴f（1）=a+2+lg（a+2），

∵t=a+2+lg（a+2），t是关于a的单调增函数

∴f（1）≥-

3

2 +2+lg（-

3

2 +2）=

1

2 +lg

1

2 ＞

1

2 +lg

1

3 10

=

1

2 -

1

3 =

1

6

即f（1）＞

1

6 成立，故f（1）要大于

1

6 ．…（14分）