解题思路:根据幂函数在(0,+∞)上是减函数,可以确定m-3<0,再根据的图象关于y轴对称,即可得到f(x)为偶函数,从而确定m的值,构造函数g(x)=,利用幂函数的性质,即可列出关于a的不等式,求解不等式可以求得a的取值范围.
根据幂函数在(0,+∞)上函数值随x增大而减小,得到3m-9<0,然后根据函数图象关于y轴对称,得到函数为偶函数,确定m的值,然后解不等式即可.
∵函数f(x)=xm2−2m−3(m∈N*)在(0,+∞)上递减,
∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3,
∵m∈N+,
∴m=1,2,
又∵函数的图象关于y轴对称,
∴f(x)为偶函数,
∴m2-2m-3是偶数,
又m=1时,m2-2m-3=-4为偶数;
m=2时,m2-2m-3=3为奇数,
∴m=1,
令g(x)=x −
1
3,
∴g(x)=x −
1
3在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,
∵(a+1)−
m
3<(3−2a)−
m
3,
∴a+1>3-2a>0,或0>a+1>3-2a,或a+1<0<3-2a,
解得a<-1,或[2/3]<a<[3/2],
故a的取值范围为{a|a<-1或[2/3]<a<[3/2],}.
点评:
本题考点: 幂函数的性质.
考点点评: 本题主要考查幂函数的图象和性质,利用条件求出m是解决本题的关键.