解题思路：（I）要证数列{an}是等差数列，只要证明an+1-an为常数，由an＞0 及已知递推关系可证
（II）由（I）知求an=2n+1，从而可得Cn+1-Cn=2n+1，故可利用迭代法Cn=（Cn-Cn-1）+（Cn-1-Cn-2）+…+（C3-C2）+（C2-C1）+C1求解
（III）由
b
n
＝
a
n+1
2
n
]=
2n+1
2
n
，结合数列的通项的特点，故考虑利用错位相减求和即可
（I）证明：由已知可得：（an+1+an）（an+1-an）-2（an+1+an）=0
∴（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵an＞0
∴an+1+an＞0
∴an+1-an=2
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列（4分）
（II）由（I）知an=1+2（n-1）=2n-1
∴Cn+1-Cn=2n+1
当n≥2时，Cn=（Cn-Cn-1）+（Cn-1-Cn-2）+…+（C3-C2）+（C2-C1）+C1
=（2n-1）+（2n-3）+…+5+3+1
=
n(1+2n−1)
2＝n2
当n=1时，C1＝1＝12适合上式
∴Cn＝n2（8分）
（III）∵bn＝
an+1
2n=[2n+1
2n
∴Tn=b1+b2+…+bn
∴Tn=
3/2+
5
22+…+
2n−1
2n−1+
2n+1
2n]①
[1/2Tn=
3
22+
5
23+…+
2n−1
2n+
2n+1
2n+1]②
①-②可得，[1/2Tn=
3
22+
2
23+…+
2
2n−
2n+1
2n+1]
=[3/2+2×
1
4(1−
1
2n−1)
1
点评：
本题考点： 数列递推式；等差关系的确定；数列的求和．
考点点评： 本题主要考查了等差数列的定义法在证明等差数列中的应用，解题的关键是对已知递推公式进行变形，迭代法在数列通项求解中的应用及利用错位相减求和方法的应用，本题考查综合数列的递推关系、通项求解，数列求和等知识的综合
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