Question

数列{a n }是公差为正数的等差数列，a 2 、a 5 且是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前

Answer 1

（1）∵等差数列{a _n}的公差d＞0，a ₂、a ₅且是方程x ²-12x+27=0的两根，

∴a ₂=3，a ₅=9．

∴d=

9-3

5-2 =2，

∴a _n=a ₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1；

又数列{b _n}中，T _n=1-

1

2 b _n，①

∴T _n+1=1-

1

2 b _n+1，②

②-①得：

b n+1

b n =

1

3 ，又T ₁=1-

1

2 b ₁=b ₁，

∴b ₁=

2

3 ，

∴数列{b _n}是以

2

3 为首项，

1

3 为公比的等比数列，

∴b _n=

2

3 • (

1

3 ) n-1 ；

综上所述，a _n=2n-1，b _n=

2

3 • (

1

3 ) n-1 ；

（2）∵c _n=a _n•b _n=（2n-1）•

2

3 • (

1

3 ) n-1 ，

∴S _n=a ₁b ₁+a ₂b ₂+…+a _nb _n

=1×

2

3 +3×

2

3 ×

1

3 +…+（2n-1）×

2

3 × (

1

3 ) n-1 ，③

∴

1

3 S _n=

2

3 ×

1

3 +3×

2

3 × (

1

3 ) 2 +…+（2n-3）×

2

3 × (

1

3 ) n-1 +（2n-1）×

2

3 × (

1

3 ) n ，④

∴③-④得：

2

3 S _n=

2

3 +

4

3 [

1

3 + (

1

3 ) 2 + (

1

3 ) 3 +…+ (

1

3 ) n-1 ]-（2n-1）×

2

3 × (

1

3 ) n ，

S _n=1+2[

1

3 + (

1

3 ) 2 + (

1

3 ) 3 +…+ (

1

3 ) n-1 ]-（2n-1）× (

1

3 ) n

=1+2×

1

3 [1- (

1

3 ) n-1 ]

1-

1

3 -（2n-1）× (

1

3 ) n

=2-

2n+2

3 × (

1

3 ) n-1

=2-（2n+2）× (

1

3 ) n ．