Question

（2004•广州一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有2Sn=（n+2）an-1．

Answer 1

（Ⅰ）法一：在2S_n=（n+2）a_n-1中，

令n=1，得2a₁=3 a₁-1，求得a₁=1，

令n=2，得2（a₁+a₂）=4a₂-1，求得a₂=[3/2]；

令n=3，得2（a₁+a₂+a₃）=5 a₃-1，求得a₃=2；

令n=4，得2（a₁+a₂+a₃+a₄）=6 a₄-1，求得a₄=[5/2]．

由此猜想：a_n=[n+1/2]．…

下面用数学归纳法证明．

（1）当n=1时，a₁=[1+1/2]=1，命题成立．

（2）假设当n=k时，命题成立，即a_k=[k+1/2]，且2S_k=（k+2）a_k-1，则由2S_k+1=（k+3）a_k+1-1及S_k+1=S_k+a_k+1，得（k+3）a_k+1-1=2S_k+2a_k+1，即（k+3）a_k+1-1=[（k+2）a_k-1]+2a_k+1．则a_k+1=

(k+2)ak

k+1=[k+2/2]，这说明当n=k+1时命题也成立．根据（1）、（2）可知，对一切n∈N^*命题均成立． …（6分）

法二：在2S_n=（n+2）a_n-1中，令n=1，求得a₁=1．

∵2S_n=（n+2）a_n-1，

∴2S_n-1=（n+1）a_n-1-1．

当n≥2时，两式相减得：2（S_n-S_n-1）=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1，

即2 a_n=（n+2）a_n-（n+1）a_n-1整理得，

an

an−1＝

n+1

n． …（3分）

∴a_n=

an

an−1•

an−1

an−2•…•

a3

a2•

a2

a1•a₁=[n+1/n]•[n/n−1]•…•[4/3]•[3/2]•1=[n+1/2]．

当n=1时，a_n=[1+1/2]，满足上式，

∴a_n=