Question

如图，一个类似杨辉三角的数阵，则

Answer 1

解题思路：观察首尾两数都是1，3，5，7等为奇数，可知第n行的首尾两数，设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{an}，则有a3-a2=3，a4-a3=5，a5-a4=7，…，an-an-1=2n-3，相加得an．然后分别代入n=9求得（1），代入291求得（2）．

（1）观察首尾两数都是1，3，5，7，可知第n行的首尾两数均为2n-1

设第n（n≥2）行的第2个数构成数列{a_n}，则有a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，a₅-a₄=7，…，a_n-a_n-1=2n-3，

相加得a_n-a₂=3+5+…+（2n-3）=[3+2n−3/2]×（n-2）=n（n-2）

a_n=3+n（n-2）=n²-2n+3．

n=9时，a₉=9²-2×9+3=66

（2）第n（n≥2）行的第2个数为291，n²-2n+3=291，

解得n=18．

故答案为：（1）66（2）18

点评：

本题考点： 归纳推理．

考点点评： 本题主要考查了数列的应用，以及利用叠加法求数列的通项，同时考查了等差数列求和，属于中档题．