解题思路：（1）将已知点的坐标代入到给定的函数的解析式中求解即可；
（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H，首先求得直线AP的解析式，然后表示出有关线段长，从而求得tan∠CAP的值；
（3）利用 S△QAC=S△AOC+S△QOC-S△AOQ求解即可．
（1）将A（-3，0）、C（0，-[3/2]）．代入y＝
1
2x2+bx+c得
(−3)2
2−3b+c＝0
c＝−
3
2解得
b＝1
c＝−
3
2
所以抛物线的表达式为y=[1/2]x2+x-[3/2]．
其顶点P的坐标为（-1，-2）．…（1分）
（2）延长AP交y轴于G，过C作CH⊥AG，垂足是H．
设直线AP的表达式为y=kx+b，
将A（-3，0）、P（-1，-2）代入，得
−3k+b＝0
−k+b＝−2，解得
k＝−1
b＝−3．
∴y=-x-3．
进而可得G（0，-3）．
∴OG=OA，∠G=∠OAG=45°，
在Rt△CHG中，HG=CH=CG•sin45°=
3
2
4．
在Rt△AOG中，AG=[OG/cos45°]=3
2，
∴AH=AG-HG=
9
2
4
∴tan∠CAP=[CH/AH]=[1/3]．
（3）设Q（t，[1/2]t2+t-[3/2]），
由Q在第四象限，得|t|=t，|[1/2]t2+t-[3/2]|=-[1/2]t2-t+[3/2]）．
联结OQ，易得 S△QAC=S△AOC+S△QOC-S△AOQ．
∵S△AOC=[1/2]×|-3|×|-[3/2]|=[9/4]，S△QOC=[1/2]×|-[3/2]|×t=[3/4]t，
S△AOQ=[1/2]×|-3|×|[1/2]t2+t-[3/2]|=-[3/4]t2-[3/2]t+[9/4]，
∴S△QAC=[9/4]+[3/4]t-（-[3/4]t2-[3/2]t+[9/4]）=[3/4]t2+[9/4]t．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 此题主要考查了二次函数的综合题目，利用一般式求二次函数解析式及解直角三角形是考查的重点内容，同学们应学会应用．