Question

若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

Answer 1

解题思路：由已知条件推导出a≤x+2lnx+[3/x]，x＞0，令y=x+2lnx+[3/x]，利用导数性质求出x=1时，y取最小值4，由此能求出实数a的取值范围．

∵2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，

∴a≤x+2lnx+[3/x]，x＞0，

令y=x+2lnx+[3/x]，

则y′＝1+

2

x−

3

x2=

x2+2x−3

x2，

由y′=0，得x₁=-3，x₂=1，

x∈（0，1）时，y′＜0；

x∈（1，+∞）时，y′＞0．

∴x=1时，y_min=1+0+3=4．

∴a≤4．

∴实数a的取值范围是（-∞，4]．

故选：C．

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用

考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．