Question

设常数a＞0，(ax-1x)5展开式中x3的系数为-[5/81]，则a= ___ ，limn→∞(a+a2+…+an)=

Answer 1

解题思路：（1）利用二项展开式通项公式Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-[1/x]）^r，整理后，令x的次数等于3，从而解得a，

（2）再求等比数列的前n项和，s_n=

a×(1−

a

n

)

1−a

，且

lim

n→∞

aⁿ=0（∵a＜1），从而得解．

方法2：由a=[1/3]＜1，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，利用无穷递降等比数列的各项和公式，可得解．

（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-[1/x]）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，

r=1时，即（-1）c₅¹a⁴=-[5/81]，∴a=[1/3]．故答案为[1/3]

（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=

a×(1-an)

1-a，

∴

lim

n→∞（a+a²+…+aⁿ）=

lim

n→∞

a×(1-an)

1-a=[a/1-a]（∵a＜1时，

lim

n→∞aⁿ=0）

=

1

3

1-

1

3=[1/2]．

故答案为[1/2]．

方法2：由a=[1/3]，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，

则

lim

n→∞（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，

由无穷递降等比数列的各项和公式（

lim

n→∞s_n=
a1
1-q），

可知

lim

n→∞（a+a²+…+aⁿ）=[a/1-a]═

1

3

1-

1

3=[1/2]．

故答案为[1/2]．

点评：

本题考点： 二项式定理；数列的极限．

考点点评： 本题（1）主要考查二项式展开式特定项的系数的求法，需要熟记展开式的通项公式，即Tr+1=cnran-rbr．是高考的常见题型．

（2）主要考查等比数列求和公式及极限的运算，需要注意：当a的绝对值小于1时，limn→∞an=0，方法2：要记住无穷递降等比数列各项和公式limn→∞sn=a11−q．在选择填空中可以加快速度．