Question

在二项式（1+3x）n和（2x+5）n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn、n是正整数，则limn→∞an−2bn

Answer 1

解题思路：先求出各项系数之和a_n、b_n，代入所求极限表达式，再由极限运算法则可求．

由题可知：二项式（1+3x）ⁿ和（2x+5）ⁿ的展开式中，分别令x=1即可得a_n=4ⁿ、b_n=7ⁿ，

将a_n=4ⁿ、b_n=7ⁿ，代入

lim

n→∞

an−2bn

3an−4bn=

lim

n→∞

4n−2×7n

3×4n− 4×7n=

lim

n→∞

(

4

7)n− 2

3×(

4

7)n−4=[1/2]，

故答案为：[1/2]

点评：

本题考点： 数列的极限；二项式定理．

考点点评： 本题有两点注意：

（1）用特殊值求二项式展开式各项系数和，高考中常在填空中出现．

（2）分式极限求解法则要熟练掌握．