Question

（2015•浙江一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-2．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，

化为a_n=2a_n-1，

∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列，

∴an＝2n．

（2）∵b_n=log₂a_n=log22n=n，

∴c_n=

1

bnbn+1=

1

n(n+1)＝

1/n−

1

n+1]．

∴数列{c_n}的前n项和T_n=(1−

1

2)+(

1

2−

1

3)+…+(

1

n−

1

n+1)=1−

1

n+1=[n/n+1]．

∵对n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，

∴[n/n+1≤k(n+4)，化为k≥

n

(n+1)(n+4)]=[1

n+

4/n+5]．

∵n+[4/n]+5≥2

n•

4

n+5=9，当且仅当n=2时取等号．

∴[1

n+

4/n+5≤

1

9]，

∴k≥

1

9．

∴实数k的取值范围是[

1

9，+∞)．