Question

设A B为抛物线Y方=4px(p>0)上原点O以外的两个动点,已知：OA垂直OB,OM垂直AB.求点轨迹方程.

Answer 1

题目应该是求点M的轨迹方程

解;

OA⊥OB

设直线OA:y=kx,直线OB:y=-x/k

解下方程组:

y=kx

y^2=4px

得A(4P/K^2,4P/K)

同理,解下方程组:

y=-x/k

y^2=4px

得B(4PK^2,-4PK)

直线AB的斜率：kAB=K/(1-K^2)

OM⊥AB,kOM=-(1-K^2)/K

设M(X,Y) ,则

Y/X=-(1-K^2)/K,-X/Y=K/(1-K^2),K^2=(X+YK)/X,

直线AB：Y+4PK=[K/（1-K^2) ]*(X-4PK^2)

Y+4PK=(-X/Y)*(X-4PK^2)

X^2+Y^2+4PKY=4PXK^2=4PX*(X+YK)/X=4PX+4PKY

X^2+Y^2-4PX=0

(X-2P)^2+Y^2=(2P)^2

点M的轨迹方程为一个园,半径=2P,园心坐标为(2P,0)