解题思路：（1）先求出ω=2，由所得函数g（x）为奇函数，可求得φ的值，从而确定f（x）的解析式；
（2）令2kπ+[π/2]≤2x+[π/3]≤2kπ+[3π/2]，k∈z，解得x的范围，从而求得f（x）的单调减区间；令2kπ-[π/2]≤2x+[π/3]≤[π/2]+2kπ（k∈Z），从而求得f（x）的单调增区间．
（1）由题意函数f（x）的图象两相邻对称轴之间的距离是[π/2]，可得函数的周期为π，即 [2π/ω]=π，ω=2，故函数为f（x）=sin（2x+φ）．
将函数f（x）图象向右平移[π/6]个单位，得到函数g（x）的解析式为 g（x）=sin[2（x-[π/6]）+φ]=sin（2x-[π/3]+φ），
∵函数g（x）为奇函数．
∴-[π/3]+φ=kπ，φ=kπ+[π/3]，k∈Z．
不妨令k=0，则φ取值为[π/3]．
故有f（x）=sin（ωx+φ）=sin（2x+[π/3]）．
（2）因为函数y=sin（2x+[π/3]），
令2kπ-[π/2]≤2x+[π/3]≤[π/2]+2kπk∈Z，即kπ-[5π/12]≤x≤[π/12]+kπ（k∈Z），所以函数的单调增区间为：[kπ-[5π/12]，[π/12]+kπ]，k∈Z．
令2kπ+[π/2]≤2x+[π/3]≤2kπ+[3π/2]，k∈z，求得kπ+[π/12]≤x≤kπ+[7π/12]，k∈z，可求得函数的减区间为：[[π/12]+kπ，[7π/12]+kπ]，k∈Z．
点评：
本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
考点点评： 本题主要考查了正弦函数的图象和单调性，考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．