Question

三角形ABC内角成等差数列,对边a,b,c的倒数成等差数列,求A,B,C

Answer 1

因为A+B+C=180度

2B=A+C

所以B=60度 A+C=120度

因为2/b=(1/a)+(1/c)

所以ac=(a+c)b/2

由余弦定理得b^2=a^2+c^2-2ac(cosB)

=a^2+c^2-ac

=(a+c)^2-3ac

所以有：b^2=(a+c)^2-3(a+c)b/2

整理得：(a+c)^2-(3b/2)(a+c)-b^2=0

分解因式得：(a+c-2b)(a+c+b/2)=0

因为a>0 b>0 c>0

所以a+c+b/2>0

所以a+c-2b=0

所以a+c=2b

因为ac=(a+c)b/2=((a+c)^2)/4

所以(a-c)^2=0

a=c

所以a=b=c

即三角形ABC为正三角形.

A=B=C=60度