已知函数f(x)=kx3-3x2+1(k≥0).

1个回答

  • 解题思路:(1)先分类讨论,当k=0时是二次函数,单调区间很快求出,当k≠0时利用导数在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,可求得函数的单调区间.

    (2)讨论k,k=0显然不存在极小值,当k>0时,根据第一问的单调性可知f(x)的极小值,建立不等关系,求出变量k的范围即可.

    (I)当k=0时,f(x)=-3x2+1

    ∴f(x)的单调增区间为(-∞,0],单调减区间[0,+∞).

    当k>0时,f'(x)=3kx2-6x=3kx(x-[2/k])

    ∴f(x)的单调增区间为(-∞,0],[[2/k],+∞),单调减区间为[0,[2/k]].

    (II)当k=0时,函数f(x)不存在最小值.

    当k>0时,依题意f([2/k])=

    8

    k2-

    12

    k2+1>0,

    即k2>4,由条件k>0,所以k的取值范围为(2,+∞)

    点评:

    本题考点: A:利用导数研究函数的极值 B:利用导数研究函数的单调性

    考点点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及利用导数研究函数的单调性,属于基础题.