圆的基本性质与定理

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  • 一有关圆的基本性质与定理

    ⑴圆的确定:画一条线段,以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆.

    圆与直线相切圆的对称性质:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条通过圆心的直线.圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的2条弧.逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的2条弧.

    ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两个圆周角,两组弧,两条弦,两条弦心距中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.直径所对的圆周角是直角.90度的圆周角所对的弦是直径. 如果一条弧的长是另一条弧的2倍,那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍.

    ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

    ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆.外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;

    ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等.

    ③R=2S△÷L(R:内切圆半径,S:三角形面积,L:三角形周长)

    ④两相切圆的连心线过切点(连心线:两个圆心相连的直线)

    ⑤圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AD与BC分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点.

    (4)如果两圆相交,那么连接两圆圆心的线段(直线也可)垂直平分公共弦.

    (5)圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

    (6)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.

    (7)弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.

    (8)圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半.

    (9)圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半.

    〖有关切线的性质和定理〗

    圆的切线垂直于过切点的半径;经过半径的一端,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线.

    切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

    切线的性质:(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线.(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.(3)圆的切线垂直于经过切点的半径.

    切线长定理:从圆外一点到圆的两条切线的长相等,那点与圆心的连线平分切线的夹角.

    〖有关圆的计算公式〗

    1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180

    4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长)5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)

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    【圆的解析几何性质和定理】

    〖圆的解析几何方程〗

    圆的标准方程:在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.

    圆的一般方程:把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0).其中和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2.该圆圆心坐标为(-D/2,-E/2),半径r=0.5√D^2+E^2-4F.

    圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r.

    经过圆 x^2+y^2=r^2上一点M(a0,b0)的切线方程为 a0*x+b0*y=r^2

    〖圆与直线的位置关系判断〗

    平面内,直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是:

    1.由Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)/B,(其中B不等于0),代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:

    如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交.

    如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切.

    如果b^2-4ac