Question

已知a,b是两个非零向量,夹角为θ,当a+tb(t∈R)的模最小时：（1） 求t的值（2） 求b与a+tb的夹角

Answer 1

(1)首先,a+tb的模最小,所以|a+tb|=[(a+tb)^2]^(1/2) 可以得到:(|a|^2+t*|a|*|b|*cosΘ+|b|^2)^(1/2),这个式子是大于等于零恒成立的 然后,1,当Θ=90度的时候,cosΘ=0,所以无最小值,所以Θ!=0 2,当Θ=0读的时候,cosΘ=1,此时,当t取-2的时候,原式可以取到最小值0 3,当Θ≠0且Θ≠90的时候,t=-2/cosΘ (2)当Θ=0时,b(a+tb)=a*b-2b^2=|a||b|cosΘ-2b^2=-b^2=0,所以可以得到b=0,但题目b!=0,所以排除.当Θ≠0且Θ≠90时,b(a+tb)=|a||b|cosΘ+t*|b|^2=0 可以得到:|a||b|cosΘ-2(|b|^2/cosΘ)=0 所以|a|cos^2Θ=|b|,所以cosΘ=arccos[√ (|b|/|a|)]