解题思路:(1)由AC=BC,利用等边对等角得到一对角相等,三角形ABC,利用内角和定理列出关系式,等量代换得到∠B+[1/2]∠C=90°,再将已知等式代入得到∠B与∠BAD互余,进而确定出AD垂直于BC,即可确定出BC为圆的切线;
(2)连接DF,EF,由AD为圆O的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到DF垂直于AC,再由AD垂直于DC,利用同角的余角相等得到∠ADF=∠C,根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADF=∠AEF,由tan∠AEF的值得到tan∠ADF的值,即为tan∠C的值,在直角三角形ADC中,由tan∠C的值设出AD=4x与DC=3x,再由AC=BC,根据BC-CD表示出BD,再由AD的长,利用勾股定理求出x的值,即可确定出BD的长.
(1)证明:在△ABC中,
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠B,
∵∠CAB+∠B+∠C=180°,
∴2∠B+∠C=180°,
∴∠B+[1/2]∠C=90°,
∵∠BAD=[1/2]∠C,
∴∠B+∠BAD=90°,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AD为⊙O直径,
∴直线BC是⊙O的切线;
(2) 如图,连接DF,EF.
∵AD是⊙O的直径,
∴∠AFD=90°,
∵∠ADC=90°,
∴∠ADF+∠FDC=∠C+∠FDC=90°,
∴∠ADF=∠C,
∵∠ADF=∠AEF,tan∠AEF=[4/3],
∴tan∠C=tan∠ADF=[4/3],
在Rt△ACD中,设AD=4x,则CD=3x,
∴AC=
AD2+DC2=5x,
∴BC=5x,BD=2x,
∵AD=4,
∴x=1,
∴BD=2.
点评:
本题考点: 切线的判定;勾股定理.
考点点评: 此题考查了切线的判定,勾股定理,以及锐角三角函数定义,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.