如图,在△ABC中,AC=BC,D是BC上的一点,且满足∠BAD=[1/2]∠C,以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交

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  • 解题思路:(1)由AC=BC,利用等边对等角得到一对角相等,三角形ABC,利用内角和定理列出关系式,等量代换得到∠B+[1/2]∠C=90°,再将已知等式代入得到∠B与∠BAD互余,进而确定出AD垂直于BC,即可确定出BC为圆的切线;

    (2)连接DF,EF,由AD为圆O的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到DF垂直于AC,再由AD垂直于DC,利用同角的余角相等得到∠ADF=∠C,根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADF=∠AEF,由tan∠AEF的值得到tan∠ADF的值,即为tan∠C的值,在直角三角形ADC中,由tan∠C的值设出AD=4x与DC=3x,再由AC=BC,根据BC-CD表示出BD,再由AD的长,利用勾股定理求出x的值,即可确定出BD的长.

    (1)证明:在△ABC中,

    ∵AC=BC,

    ∴∠CAB=∠B,

    ∵∠CAB+∠B+∠C=180°,

    ∴2∠B+∠C=180°,

    ∴∠B+[1/2]∠C=90°,

    ∵∠BAD=[1/2]∠C,

    ∴∠B+∠BAD=90°,

    ∴∠ADB=90°,

    ∴AD⊥BC,

    ∵AD为⊙O直径,

    ∴直线BC是⊙O的切线;

    (2) 如图,连接DF,EF.

    ∵AD是⊙O的直径,

    ∴∠AFD=90°,

    ∵∠ADC=90°,

    ∴∠ADF+∠FDC=∠C+∠FDC=90°,

    ∴∠ADF=∠C,

    ∵∠ADF=∠AEF,tan∠AEF=[4/3],

    ∴tan∠C=tan∠ADF=[4/3],

    在Rt△ACD中,设AD=4x,则CD=3x,

    ∴AC=

    AD2+DC2=5x,

    ∴BC=5x,BD=2x,

    ∵AD=4,

    ∴x=1,

    ∴BD=2.

    点评:

    本题考点: 切线的判定;勾股定理.

    考点点评: 此题考查了切线的判定,勾股定理,以及锐角三角函数定义,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.