Question

已知数列{an},{bn}满足:a1=3,当n>=2时,a(n-1)+an=4n;对于任意的正整数n,b1+2b2+…+

Answer 1

(1) 由a1+a2=8,得a2=8-a1=8-3=5,

同理 a2+a3=12,a3=12-5=7

（还可用数学归纳法）由 an+a(n-1)=4n,a(n-1)+a(n-2)=4(n-1) 得an-a(n-2)=4

于是 当n为奇数时,an-a(n-2)=4

a(n-2)-a(n-4)=4

.

a3-a1=4

累加的 an=2n+1 若n为偶数 也可证明 an=2n+1

综上所述 an=2n+1

(2)b1+2b2+.2^(n-1)bn=n*(2n+1)

则 b1+2b2+.2^(n-2)b(n-1)=(n-1)(2(n-1)+1)

两式相减得 2^(n-1)bn=4n-1 则bn=4n-1/2^(n-1)

于是 Sn=b1+b2+.bn=3+7/2+.+4n-1/2^(n-1)

1/2Sn=3/2+7/4+.+4n-1/2^n

两式相减得 1/2Sn=7-(4n+7)/2^n

Sn=14-(4n+7)/2^(n-1) 所以13