已知直线L过点p4,0 圆o x2+y2=8 (1)若L与圆o相切 求出切线方程 2 若相交 求 倾斜角取值范围 相交弦

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  • (1)设过点P的切线斜率为k,切线方程为 y - 0 =k(x-4),kx -y - 4 = 0

    圆心O(0,0),O与切线距离d等于半径2√2,d = 4/√(k²+1)

    k² = 1,k = ±1

    切线方程为:y =x - 4或y = 4 - x,

    二者倾斜角分别为45°和135°

    (2)点P的直线与圆相交,则其介于y = x -4和x= 4-x之间.画个草图可知,倾斜角从135°开始增加到180°(0°),再从0°增加到45°:

    135° < 倾斜角 < 180°或 0° ≤ 倾斜角 < 45°

    到将直线方程和圆的方程联立,可得交点为 (这一步可能有简单方法):

    A([4k² + 2√(2 - 2k²)]/√(k²+1),[-4k + 2√(2 - 2k²)]/√(k²+1)]

    B([4k² - 2√(2 - 2k²)]/√(k²+1),[-4k - 2√(2 - 2k²)]/√(k²+1)]

    AB² = 2[2√(2 - 2k²)]/√(k²+1) + 2√(2 - 2k²)]/√(k²+1)]² = 64(1-k²)/(1+k² )

    AB = 8√[(1-k²)/(1+k²)] ( -1 < k