Question

经济学问题,某消费者的效用函数为u=(x^a)y,a大于0,请推导出恩格尔曲线

Answer 1

这是个求条件极值的问题.在

Px*x + Py*y = 常数

的条件下（其中Px是x的价格,Py是y的价格）,求使得效用函数

u＝x^a*y

最大的x和y的值.x和y之间的关系就是恩格尔曲线

先对条件方程求导,得出

dy/dx = -Px/Py

然后对效用函数求导

du/dx = a*x^(a-1)*y + x^a * dy/dx

把dy/dx = -Px/Py代入,得

du/dx = a*x^(a-1)*y - (Px/Py)*x^a

u取极值时,du/dx = 0,因此

a*x^(a-1)*y = (Px/Py)*x^a

等式两边消去x^a,解得

y/x = Px/aPy

即恩格尔曲线为

y = (Px/aPy)*y

这是一条斜率为(Px/aPy)的直线.如果a>0,则斜率为正.