Question

设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(−b，b)内的函数f(x)＝lg1+ax1+2x是奇函数，则a+b的取值范围是__

Answer 1

解题思路：由题意和奇函数的定义f（-x）=-f（x）求出a的值，再由对数的真数大于零求出函数的定义域，则所给的区间应是定义域的子集，求出b的范围进而求出a+b的范围．

∵定义在区间（-b，b）内的函数f（x）=lg

1+ax

1+2x是奇函数，

∴任x∈（-b，b），f（-x）=-f（x），即lg

1−ax

1−2x=-lg

1+ax

1+2x，

∴lg

1−ax

1−2x=lg

1+2x

1+ax，则有[1−ax/1−2x＝

1+2x

1+ax]，

即1-a²x²=1-4x²，解得a=±2，

又∵a≠2，∴a=-2；则函数f（x）=lg

1−2x

1+2x，

要使函数有意义，则[1−2x/1+2x]＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0

解得：-[1/2]＜x＜[1/2]，即函数f（x）的定义域为：（-[1/2]，[1/2]），

∴（-b，b）⊆（-[1/2]，[1/2]），∴0＜b≤[1/2]

∴-2＜a+b≤-[3/2]，即所求的范围是(−2，−

3

2]；

故答案为：(−2，−

3

2]．

点评：

本题考点： 奇函数．

考点点评： 本题考查了奇函数的定义以及求对数函数的定义域，利用子集关系求出b的范围，考查了学生的运算能力和对定义的运用能力．