解题思路：（1）
S
n
＝
(
a
n
−1)(
a
n
+2)
2
=
a
n
2
+
a
n
−2
2
，当n=1时，
a
1
＝
S
1
＝
a
1
2
+
a
1
−2
2
，即
a
1
2
−
a
1
−2＝0
，解得a1=2，或a1=-1，由an＞0，知a1=2．当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
a
n
2
+
a
n
−2
2
−
a
n−1
2
+
a
n−1
−2
2
，化简，得（an+an-1）（an-an-1-1）=0，由an＞0，知an-an-1=1，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由
b
n
＝
ln
a
n+1
ln
a
n
=
ln(n+2)
ln(n+1)
，知b1•b2…bk=[ln3/ln2×
ln4
ln3
×…×
ln(k+2)
ln(k+1)]=
ln(k+2)
ln2
=log2（k+2），令log2（k+2）=m，则k=2m-2，m∈Z，由1≤2m-2≤2012，得3≤2m≤2014，故m=2，3，4，5，…，10．由此能求出区间[1，2012]内的所有“龙数”之和．
（3）由
b
n
＝
ln(n+2)
ln(n+1)
＞
ln(n+1)
ln(n+1)
＝1
，知
b
n+1
b
n
＝
ln(n+3)
ln(n+2)
ln(n+2)
ln(n+1)
=
ln(n+3)•ln(n+1)
[ln(n+2)
]
2
＜
[
ln(n+3)+ln(n+1)
2
]
2
[ln(n+2)
]
2
＜1，故bn＞bn+1．
（1）∵Sn＝
(an−1)(an+2)
2=
an2+an−2
2，
当n=1时，a1＝S1＝
a12+a1−2
2，即a12−a1−2＝0，
解得a1=2，或a1=-1，
∵an＞0，∴a1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=
an2+an−2
2−
an−12+an−1−2
2，
化简，得an2−an−12−an−an−1＝0，
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=1，
∴{an}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴an=2+（n-1）=n+1．
（2）∵bn＝
lnan+1
lnan=
ln(n+2)
ln(n+1)，
∴b1•b2…bk=[ln3/ln2×
ln4
ln3×…×
ln(k+2)
ln(k+1)]=
ln(k+2)
ln2=log2（k+2），
令log2（k+2）=m，则k=2m-2，m∈Z，
由1≤2m-2≤2012，得3≤2m≤2014，
∴m=2，3，4，5，…，10．
∴在区间[1，2012]内，k的值为22-2，23-2，…，210-2，
其和为：（22-2）+（23-2）+…+（210-2）
=（22+23+…+210）-2×9
=
22(1−29)
1−2-18=2026．
（3）∵bn＝
ln(n+2)
ln(n+1)＞
ln(n+1)
点评：
本题考点： 数列递推式．
考点点评： 本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
1年前
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