Question

设函数f（x）=x2-2（-1）klnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）导函数．

Answer 1

解题思路：（1）先求函数f（x）的导数，f′（x），再对k进行奇偶数讨论：1°当k 为奇数时；2°当k 为偶数时；分别得出导数值为正或负时的x的取值集合，最后综合即可；

（2）当k为奇数时，f′（x）=2（x+[1/x]），要证（1+b_n）

1

b

n+1

＞e，即证（1+[1/n]）ⁿ⁺¹＞e，两边取对数，即证ln（1+[1/n]）＞[1/n+1]，设1+[1/n]=t，构造函数g（t）=lnt+[1/t]-1，利用导数工具研究其单调性即可证得lnt＞1-[1/t]，最后利用累乘法即可证出S₂₀₁₂-1＜ln2012．

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）^k[1/x]，

1°当k 为奇数时，f′（x）=2x+[2/x]，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；

2°当k 为偶数时，f′（x）=

2(x+1)(x−1)

x，∵x+1＞0，∴f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），

综上所述，当k 为奇数时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当k 为偶数时，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），

（2）当k为奇数时，f′（x）=2（x+[1/x]），

∴b_n=[1/2]f′（n）-n=[1/n]，S_n=1+[1/2]+[1/3]+…+[1/n]

要证（1+b_n）

1

bn+1＞e，即证（1+[1/n]）ⁿ⁺¹＞e，两边取对数，

即证ln（1+[1/n]）＞[1/n+1]

设1+[1/n]=t，则n=[1/t−1]，

lnt＞1-[1/t]（t＞1），构造函数g（t）=lnt+[1/t]-1，

∵x＞1，∴g′（t）=[1/t]-[1

t2＞0

∴g（t）在（1，+∞）上是增函数，g（t）＞g（1）＞0

即lnt＞1-

1/t]，∴（1+b_n）

1

bn+1＞e，

S₂₀₁₂-1=（1+[1/2]+[1/3]+…+[1/2012]）-1=[1/2]+

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的加法与减法法则．

考点点评： 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．