解题思路:先由条件A∩B={a1,a4},且五个自然数的大小关系,得出a1=a12,求出a1的值,再由a1+a4=10,求出a4的值,进而确定出a2=3或a3=3,分两种情况考虑:①若a3=3时,a2=2,由A∪B中的所有元素之和为256,求出a5的值,从而确定出集合A;②若a2=3时,表示出此时A和B,则得到a3的范围,根据a3及a5表示自然数,得到只有a3=5时,a5=11,进而确定出集合A,综上,得到满足题意的集合A.
由A∩B={a1,a4},且a1<a2<a3<a4<a5 ,
得到只可能a1=a12,即a1=1,
又a1+a4=10,
∴a4=9,且a4=9=ai2(2≤i≤3),
∴a2=3或a3=3,…(2分)
①若a3=3时,a2=2,此时A={1,2,3,9,a5},B={1,4,9,81,a52},
因a52≠a5,
故1+2+3+9+4+a5+81+a52=256,
从而a52+a5-156=0,解得a5=12,
所以A={1,2,3,9,12};…(5分)
②若a2=3时,此时A={1,3,a3,9,a5},B={1,9,a32,81,a52},
因1+3+9+a3+a5+81+a32+a52=256,
从而a52+a5+a32+a3-162=0,
又a2<a3<a4,则3<a3<9,
当a3=4、6、7、8时,a5无整数解,
当a3=5时,a5=11,
所以A={1,3,5,9,11};…(8分)
综上,A={1,2,3,9,12}或{1,3,5,9,11}.
故答案为:{1,2,3,9,12}或{1,3,5,9,11}
点评:
本题考点: 交集及其运算;元素与集合关系的判断;并集及其运算.
考点点评: 此题考查了交集及运算,并集及运算,利用了转化及分类讨论的数学思想,锻炼了学生的逻辑推理能力,是一道综合性较强的题.