Fibonacci 数列fn=fn-1+4fn-2-4fn-3,(n≥4),其中f1=1,f2=2,f3=3的通项公式

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  • 【说明:由于本题的特殊性,每步递减阶数都可以采用待定系数法来解,由于都比较简单,就直接观察得到了.】

    ∵Fibonacci数列f[n]=f[n-1]+4f[n-2]-4f[n-3],(n≥4)

    ∴f[n]+f[n-1]-2f[n-2]=2{f[n-1]+f[n-2]-2f[n-3])}

    ∵f[1]=1,f[2]=2,f[3]=3

    ∴{f[n]+f[n-1]-2f[n-2]}是首项为f[3]+f[2]-2f[1]=3,公比为2的等比数列

    即:f[n]+f[n-1]-2f[n-2]=3*2^(n-3)

    ∵f[n]-f[n-1]-(3/4)2^(n-2)=-2{f[n-1]-f[n-2]-(3/4)*2^(n-3)}

    ∴{f[n]-f[n-1]-(3/4)2^(n-2)}是首项为f[2]-f[1]-(3/4)2^0=1/4,公比为-2的等比数列

    即:f[n]-f[n-1]-(3/4)2^(n-2)=(1/4)(-2)^(n-2)

    ∴f[n]-f[n-1]=3*2^(n-4)+(-2)^(n-4)

    ∵f[n]-3*2^(n-3)+(1/3)(-2)^(n-3)=f[n-1]-3*2^(n-4)+(1/3)(-2)^(n-4)

    ∴{f[n]-3*2^(n-3)+(1/3)(-2)^(n-3)}是常数为f[1]-3*2^(-2)+(1/3)(-2)^(-2)=1/3的常数数列

    即:f[n]-3*2^(n-3)+(1/3)(-2)^(n-3)=1/3

    ∴f[n]=1/3+3*2^(n-3)-(1/3)(-2)^(n-3)