Question

（2012·凉州）如图在平面直角坐标系中直线Y=x+4与x轴,y轴分别交于A,B两点,抛物线Y=-x^2+bx+c经过A

Answer 1

（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A（-4,0）,B（0,4）

抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点,可得

−16−4b+c＝0c＝4,解得b＝−3c＝4,

∴抛物线解析式为y=-x²-3x+4．

令y=0,得-x²-3x+4=0,

解得x₁=-4,x₂=1,∴C（1,0）．

（2）如答图1所示,设D（t,0）．

∵OA=OB,∴∠BAO=45°,

∴E（t,t+4）,P（t,-t²-3t+4）．

PE=y_P-y_E=-t²-3t+4-t-4=-t²-4t=-（t+2）²+4,

∴当t=-2时,线段PE的长度有最大值4,此时P（-2,6）．

（3）存在．

如答图2所示,过N点作NH⊥x轴于点H．

设OH=m（m＞0）,∵OA=OB,∴∠BAO=45°,

∴NH=AH=4-m,∴y_Q=4-m．

又M为OA中点,∴MH=2-m．

△MON为等腰三角形：

①若MN=ON,则H为底边OM的中点,

∴m=1,∴y_Q=4-m=3．

由-x_Q²-3x_Q+4=3,解得x_Q=−3±132,

∴点Q坐标为（−3+132,3）或（−3−132,3）；

②若MN=OM=2,则在Rt△MNH中,

根据勾股定理得：MN²=NH²+MH²,即2²=（4-m）²+（2-m）²,

化简得m²-6m+8=0,解得：m₁=2,m₂=4（不合题意,舍去）

∴y_Q=2,由-x_Q²-3x_Q+4=2,解得x_Q=−3±172,

∴点Q坐标为（−3+172,2）或（−3−172,2）；

③若ON=OM=2,则在Rt△NOH中,

根据勾股定理得：ON²=NH²+OH²,即2²=（4-m）²+m²,

化简得m²-4m+6=0,∵△=-8＜0,

∴此时不存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形．

综上所述,存在这样的直线l,使得△MON为等腰三角形．

所求Q点的坐标为（−3+132,3）或（−3−132,3）或（−3+172,2）或（−3−172,2