带电粒子在电场、磁场中运动一直是高考的一个热点,也是一个难点,学生解决这类问题时感到困难的原因,除了这类考题对能力要求较高外,还有一个关键性的问题,就是学生不能简胆地判断电场或磁场的形状特点和带电粒子的运动轨迹.如何突破这个难点,方法很多,本文通过几个实例谈谈利用电场、磁场和运动轨迹的对称特占解决这类问题的方法.
1.利用题设条件中某些特定点的对称性
例1 如图1所示,ab是半径为R的圆的一条直径,该圆处于匀强电场,场强为E,在圆周平面内,将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出,抛出方向不同时,小球会经过圆周上不同的点,在这些所有的点中,到达c点时小球的动能最大,已知∠cab＝30°,若不计重力和空气阻力,试求：
(1)电场方向与直径ac间的夹角θ?
(2)若小球在a点时初速方向与电场方向垂直,则小球恰好能划等号在c点,则初动能为多少?
图 1 图 2
分析和解
本题第(1)(2)两问是关联的,判断电场方向是解题的关键.
(1)用对称性直接判断电场方向：由题设条件,在圆周平面内,从a点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球,小球会经过圆周上不同点,且以经c点时小球的动能最大,可知,电场线平行于圆平面,又据动能定理,电场力对到达c点的小球做功最多,为Wac＝qUac.
因此,Uac最大,即c点的电势比圆周上的任何一点都低.又因为圆周平面处在匀强电场中,故连Oc,圆上各点电势关于Oc对称(或作过c点且与圆周相切的线cf,cf是等势线),Oc方向即为电场方向(如图2所示),其与直径ac夹角为：θ＝∠acO＝∠cab＝30°
(2)小球在匀强电场中做类平抛运动.小球沿ad方向抛出,设其初速度为Vo,小球质量为m,在重直电场线方向,有： ＝vot ①
在沿着电场线方向有： ＝ at2＝ t2 ②
由图2几何关系可得： ＝2Rcosθ＝ R ③
＝ ·sinθ＝ R ④
＝ ·cosθ＝ R ⑤
将③、④、⑤式代入①、②两式并解得Vo＝ ．
所以Eko＝ qER．
2.利用带电粒子运动轨迹和磁场的对称性
例2 如图3所示,从电子枪的阴极K逸出的电子(初速可看作零),经过100V的电压加速后,射入具有圆柱形边界的匀强磁场,磁感线与圆柱轴线平行,电子入射速度与磁感线垂直且指向磁场中心,在洛伦兹力的作用下偏转90°后穿出磁场,如果要使得电子穿过磁场时只发生60°的偏转,加速电场的电压应为多大?
图 3 图 4
分析：题中画出了电子偏转90°后穿过磁场的轨迹,这方便学生解题,同时也预设了陷阱,有些学生由于没有分析第一次入射电子运动轨迹特点,就想当然地认为第二电子穿过磁场后也是从C点射出,只不过偏转角度是60°,正中题设陷阱.也有学生则提出疑问,电子偏转90°后,是否一定是从c点射出呢?
我们来找出本题的对称特点.如图4所示,磁场边界是圆形,电子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹也是圆的一部分,圆心为O1,两圆相交于A、C两点,作A、C连线的中垂线OO1,则电子的运动轨迹及磁场形状关于OO1对称,由此可得：(1)电子射出的磁场时速度与AC夹角等于入射速度与AC的夹角.(2)电子入射击队速度方向的延长线和出射速度方向的反向延长线相交于O1连线上. 题目中电子偏转90°时,由以上(1)、(2)两点可得,入射速度方向与OO1相交于O点,则出射速度的反向延长线也与OO1相交于O点,△AOC是等腰直角三角形,∠OAC＝∠ACO＝45°,这说明电子必从C点射出,当电子偏转60°时,电子从D点射出,如图5所示,因为△AOD是等腰三角形,且∠OAD＝∠ADO＝30°,这样便电子运动轨迹为 , 所对的圆心角为∠AO2D＝60°,判断出了正确的运动轨迹,其他问题可迎刃而解.
解 设磁场范围的圆柱横截面半径为r,电子先后两次经 图 5过磁场的速度分别为v1和v2,电子偏转90°穿过磁场时,电子做匀速圆周运动的半径为R1＝r(如图4所示),则：ev1B＝ ,
电子经过电场加速时,应有 mv12－O＝eU1
若电子偏转60°(如图5),得R2＝rctg30°
电子在磁场中运动时,有ev2B＝
电子经电场加速时,有 mv22－0＝eU2,
联立以上各式可得电子偏转60°时, 加速电场的电压为U2＝3U1＝300V.
3.利用带电粒子运动过程的对称性 例3 如图6所示,一静止的带电粒子q,质量为m(不计重力),从P点经电场E加速,经A点进入中间磁场B,方向垂直纸面向里,再穿过中间磁场进入右边足够大空间磁场B'＝B,方向垂直于纸面向外,能按某一路径再由A点返回电场并加到出发点P而重复前述过程.已知l为P到A的距离,求中间磁场的宽度d和粒子的运动周期.(虚线为相反方向的磁场分界面,并不表示有什么障碍物)．
图 6 分析 本题粒子运动轨道比较复杂,但由题设条件,粒子将“重复前述过程”,推得粒子做周期性运动；由题设条件指出,粒子经A点进入磁场后通按某一路径返回A点,再推得粒子离开A点后的路径和返回A点的路径具有对称性. 对称轴在哪里呢?粒子从A点进入中间磁场做匀速圆周运动,半径为R＝ ,过C点进入右边磁 场,再做半径为R的匀速圆周运动经点F到点D,由于过点D后还做匀速圆周运动回到A(如图7所示),故 和 关于直线OA对称,且OA垂直于磁场的分界面,同理可知,OA也同时是 圆弧的对称轴.由此确定粒子轨迹关于直线OA对称,画出运动轨迹如轶闻7所示.由于粒子在磁场中做匀速圆周运动,速度方向沿圆的切线方向,可知,圆弧 、 、 互相相切,圆心O1、O2、O3如图7所示,且其圆半径均为R.
图 7解 (1)设中间磁场宽度为d,粒子过A点速度为v.从图7中几何关系可得
sinθ＝ ＝ ＝ , ∴ θ＝30°,
则d＝Rcos30°＝ R ①
带电粒子在加速电场中有：qEl＝ mv2
在中间和右边磁场中有：qBv＝
解①、②、③式,得 d＝ .
(2)粒子运动周期T由三段时间组成.在电场中做匀速运动的时间t1为
t1＝2 ＝2 ,在中间磁场中运动的时间为t2.
∵ 所对圆心角为90°－θ＝60°,
∴ t2＝2× ×To＝ × ＝ ,
在右边磁场中运动时间为t3.
∵ 所对圆心角为360°－2θ＝300°
∴ t3＝ ×To＝ × ＝ ,
所以周期为 T＝t1＋t2＋t3＝2 ＋ .
4.利用电场和物体形状的对称性
例4
分析和解 将金属球壳放入电场中达到静电平衡后,球为等势体,两极板之间的电场C与A板电势差不能简单应用公式UAC＝EdAC来计算.
应用对称特点.两板间电场线形状和金属球关于金属球中心O对称,所以A板与金属球的电势差UAO和金属球与B板电势差UOB相等,即UAO＝UOB,又A、B两板电势差保持不变为U,即UAO＋UOB＝U,由上两式解得UAO＝UOB＝U/2
所以得A、C两点间电势差UAC＝UAO＝U/2.利用对称性解题不仅在判断带电粒子在电场中运动轨迹十分简便于工作,在其他方面,如几何光学中在介质中传播路线等方面也十分有效,这里不再赘述.